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Raketengrundgleichung
Raketengrundgleichung stellt den rechnerischen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit einer Rakete, Masse des Treibstoffs und Strahlgeschwindigkeit sowie der Raketenmasse dar. Die Raketengrundgleichung kann auch für die einzelnen Stufen einer Rakete verwendet werden, so dass sich bei mehreren Stufen ein Geschwindigkeitszuwachs ergibt. Dies ist die mathematische Grundlage für die Weltraumfahrt.
Herleitung der Raketengrundgleichung
Die Gleichung lautet:
v_RakEnd = v_Strahl * ln (m_Startmasse/m_RakEnd)
wobei:
v_Rak - Geschwindigkeit der Rakete
v_RakEnd - Endgeschwindigkeit der Rakete nach Brennschluss
v_Strahl - Geschwindigkeit des Strahls
m_Startmasse - Masse der Rakete einschließlich Treibstoff
m_Rak - Masse der Rakete während der Brenndauer
m_RakEnd - Masse der Rakete nach Brennschluss
p - Gesamtimpuls
Das Differential des Gesamtimpulses wäre dann:
dp = d(m_Rak * v_Rak) + (- dm_Rak)*(v_Rak - v_Strahl) = 0
dp = v_Rak*dm_Rak + m_Rak*dv_Rak - v_Rak*dm_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0
(Anm: mit Multiplikation Differentiale d(u*v)=v*du + u*dv)
dp = m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0
wegen: v_Rak*dm_Rak - v_Rak*dm_Rak heben sich auf
somit:
m_Rak*dv_Rak + v_Strahl*dm_Rak = 0
dv_Rak = - v_Strahl*dm_Rak / m_Rak
integriert:
v_Rak = - v_Strahl * Int (dm_Rak / m_Rak) = - v_Strahl * [ln m_Rak] (Anm: Stammfunktion von 1/x ist ln x )
mit Integrationsgrenzen: m_Startmasse und m_RakEnd
v_RakEnd = - v_Strahl * [ln m_Rak]_(m_Startmasse)_(m_RakEnd)=
v_RakEnd = - v_Strahl * {ln (m_Startmasse) - ln (m_RakEnd) }
v_RakEnd = - v_Strahl * ln (m_Startmasse / m_RakEnd)
(Anm: ln (u) - ln (v) = ln (u/v) )
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