Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe stellt eine mathematisch-physikalische Struktur dar, die sich auf unterschiedlichen Ebenen der mathematischen Abstraktion präsentiert und zeigt, dass bezüglich der Lorentz-Transformation die Gruppenaxiome erfüllt werden.

Gruppe

Als Gruppe allgemein wird eine Menge G bezeichnet, auf der eine Verknüpfung # erklärt ist und für die die Gruppenaxiome gelten:

• G1: Für alle g, h ∈ G gilt die Abgeschlossenheit mit g # h ∈ G.

• G2: Für alle g, h, j ∈ G gilt das Assoziativgesetz mit (g # h) # j = g # (h # j).

• G3: Es gibt ein Einselement e ∈ G, so dass für alle g ∈ G die Gleichung e # g = g # e = g gilt.

• G4: Zu jedem g ∈ G gibt es ein inverses Element g′ ∈ G, so dass die Gleichung g′ # g = g # g′ = e gilt.

Lorentz-Gruppe einfach

Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT  : R⁴ → R⁴, welche den Spaltenvektor ( ct, x, y, z ) nach dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ) abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4×4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor ( ct, x, y, z ), d.h. einer 4×1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor ( ct′, x′, y′, z′ ), d.h. einer 4×1-Matrix, entspricht.

Somit:

LT  : R⁴ → R⁴

ct′  =  x′ y′ z′

γ     -γβ     0     0     -γβ     γ     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct x y z

Wobei

β =	v	und    γ =	1
	c		√ 1 - β2

Die Lorentz-Transformationen unterscheiden sich (sind abhängig) von den Boostgeschwindigkeiten v₀, v₁ :

LT₀  : R⁴ → R⁴

ct′  =  x′ y′ z′

γ0     -γ0β0     0     0     -γ0β0     γ0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct x y z

β0 =	v0	und    γ =	1
	c		√ 1 - β02

und

LT₁  : R⁴ → R⁴

ct′′  =  x′′ y′′ z′′

γ1     -γ1β1     0     0     -γ1β1     γ1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct′ x′ y′ z′

β1 =	v1	und    γ =	1
	c		√ 1 - β12

Da die Verknüpfung # zweier LT s als Hintereinanderausführung zu denken ist, kann nunmehr eingefügt werden:

LT₁₀  : R⁴ → R⁴

ct′′  =  x′′ y′′ z′′

γ1     -γ1β1     0     0     -γ1β1     γ1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

γ0     -γ0β0     0     0     -γ0β0     γ0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct x y z

Somit reduziert sich die Verknüpfung # zweier Lorentztransformationen auf die Matrizenmultiplikation, welche anhand eines Beispiels mit 2x2-Matrizen dargestellt werden soll:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Matrizenmultiplikation

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Rechenbeispiel

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Resultat

ct′′  =  x′′ y′′ z′′

γ0γ1(1 + β0β1)     -γ0γ1(β0 + β1)     0     0     -γ0γ1(β0 + β1)     γ0γ1(1 + β0β1)     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

ct x y z

ct′′ = γ₀γ₁(1 + β₀β₁)ct - γ₀γ₁(β₀ + β₁)x

x′′ = -γ₀γ₁(β₀ + β₁)ct + γ₀γ₁(1 + β₀β₁)x

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend γ₂ und γ₂β₂ per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v₂ berechnet werden:

ct′′= γ₂ct - γ₂β₂x

x′′ = -γ₂β₂ct + γ₂x

Somit würde dann gelten:

γ₂β₂ = γ₀γ₁β₀ + γ₀γ₁β₁ = γ₀γ₁(β₀ + β₁)

γ₂ = γ₀γ₁ + γ₀γ₁β₀β₁ = γ₀γ₁(1 + β₀β₁)

Bildet man den Quotienten:

γ2β2	=	γ0γ1(β0 + β1)
γ2		γ0γ1(1 + β0β1)

Somit:

β2  =	β0 + β1
	1 + β0β1

v2	=	v0/c + v1/c
c		1 + (v0/c)(v1/c)

Also:

v2 =	v0 + v1
	1 + v0v1/c2

diese Formel wird als Relativistische Addition bezeichnet und stellt den Rechen-Algorithmus für die Verknüpfung der Gruppenelemente, d.h. der LT s, dar, so dass geschrieben werden kann LT₂ = LT₁ # LT₀.

Somit ergibt sich die Formel für die "Relativistische Addition" auch aus der Verknüpfung von zwei LT s per Matrizenmultiplikation.

Beispiel Prüfung Gruppenaxiome

G1 Abgeschlossenheit

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v₀ = c/2 und v₁ = c/3

wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.

v2 =	v0 + v1
	1 + v0v1/c2

v2 =	c/2 + c/3	=	5c/6	=	5c/6	= 5c/7
	1 + (c/2)(c/3)/c2		1 + 1/6		7/6

Somit gilt:

LT(c/2) # LT(c/3) = LT(5c/7) , d.h. LT(5c/7) ∈ G.

und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit".

G2 Assoziativgesetz

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v₀ = c/3, v₁ = c/2 und v₂ = 4c/7

das Assoziativgesetz:

LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = (LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7)

erfüllt.

v12 =	v1 + v2	=	c/2 + 4c/7	= 5c/6
	1 + v1v2/c2		1 + (c/2)(4c/7)/c2

v012 =	v0 + v12	=	c/3 + 5c/6	= 21c/23
	1 + v0v12/c2		1 + (c/3)(5c/6)/c2

v01 =	v0 + v1	=	c/3 + c/2	= 5c/7
	1 + v0v1/c2		1 + (c/3)(c/2)/c2

v012 =	v01 + v2	=	5c/7 + 4c/7	= 21c/23
	1 + v01v2/c2		1 + (5c/7)(4c/7)/c2

Also gilt:

LT(c/3) # (LT(c/2) # LT(4c/7)) = LT(21c/23)

und

(LT(c/3) # LT(c/2)) # LT(4c/7) = LT(21c/23)

G3 Neutrales Element

LT(0) =	1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1     0     0     0     0     1

LT(0) # LT(v) = LT(v) # LT(0) = LT(v)

G4 Inverses Element

LT(-v) # LT(v) = LT(0)

Siehe auch

• Lorentz-Transformation
• Relativitätstheorie
• Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum

Literatur

• Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen - eine Einführung. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-60331-X.

• Max Wagner: Gruppentheoretische Methoden in der Physik: Ein Lehr- und Nachschlagewerk. Springer, Berlin, Auflage: 1 (10.Januar 2001), ISBN 3-540-415289

Weblinks

• Gruppentheorie – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet
• Tutorium - uni-ka.the-jens.de
• Die Raum-Zeit-Geometrie - theory.gsi.de