PlusPedia wird derzeit technisch modernisiert. Wie alles, was bei laufendem Betrieb bearbeitet wird, kann es auch hier zu zeitweisen Ausfällen bestimmter Funktionen kommen. Es sind aber alle Artikel zugänglich, Sie können PlusPedia genauso nutzen wie immer.
Bei PlusPedia sind Sie sicher: – Wir verarbeiten keine personenbezogenen Daten, erlauben umfassend anonyme Mitarbeit und erfüllen die Datenschutz-Grundverordnung (DSGVO) vollumfänglich. Es haftet der Vorsitzende des Trägervereins.
Bitte beachten: Aktuell können sich keine neuen Benutzer registrieren. Wir beheben das Problem so schnell wie möglich.
PlusPedia blüht wieder auf als freundliches deutsches Lexikon.
Wir haben auf die neue Version 1.43.3 aktualisiert.
Wir haben SSL aktiviert.
Hier geht es zu den aktuellen Aktuelle Ereignissen
Hinweis zur Passwortsicherheit:
Bitte nutzen Sie Ihr PlusPedia-Passwort nur bei PlusPedia.
Wenn Sie Ihr PlusPedia-Passwort andernorts nutzen, ändern Sie es bitte DORT bis unsere Modernisierung abgeschlossen ist.
Überall wo es sensibel, sollte man generell immer unterschiedliche Passworte verwenden! Das gilt hier und im gesamten Internet.
Aus Gründen der Sicherheit (PlusPedia hatte bis 24.07.2025 kein SSL | https://)
Integral
Das Integral ordnet einer Funktion (Mathematik) eine sogenannte Stammfunktion zu. Es ist die Umkehrung der ersten Ableitung in der Analysis. Werden die Grenzen des Intervalls, in welchem gerechnet wird, eingesetzt, so wird aus dem unbestimmten Integral (nur Stammfunktion) das bestimmte Integral (Stammfunktion mit Integrationsgrenzen) und man erhält einen konkreten Zahlenwert als Lösung. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Zum Beispiel kann mit Hilfe des Integrals die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse als Abzisse berechnet werden, wobei diese Fläche nach links und rechts die Integrationsgrenzen als Anfang und Ende hat.
Unbestimmtes Integral
| Allgemein kann aus der Quadratfunktion f(x) = x² die Stammfunktion F(x) bestimmt werden. Dies geht nach der Formel: |
So ergibt sich für eine Parabel mit der Standard-Gleichung f(x) = x2 + bx + c das Integral F(x) = 1/3 x3 + bx2/2 + cx + d. Es kommt also eine neue Variable d hinzu.
Bestimmtes Integral
Wenn man also die Fläche berechnen will, bestimmt man zunächst die linke (hier a genannt) und rechte Grenze (b). Danach setzt man die Werte für "a" und "b" in die Stammfunktionen ein und zieht diese voneinander ab:
| Im Fall einer Parabel ergibt sich aus der Standard-Gleichung f(x) = x2 das Integral F(x) = 1/3 x3 + c konkret die Fläche zwischen x=0 und x=1 wie folgt: |
Die Variable würde gemäß F(b) - F(a) = (1/3 xb3 + c) - (1/3 xa3 + c) nach Auflösung der Klammern wegfallen.
Zu beachten ist dabei, dass Flächen negativ sind, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft.
Beispiele
Häufig wird das Integral benutzt, um Produkte der Art f(x) * t berechnen zu können.
| Da die Geschwindigkeit als Wegzunahme pro Zeiteinheit, v = s/t, definiert ist, kommt man auf den Weg, indem man die Gesamtzeit einfach mit der Geschwindigkeit multipliziert, d.h. s = v * t. Etwas komplizierter wird es, wenn es sich um eine beschleunigte Bewegung handelt, so dass die Geschwindigkeit ständig größer wird und somit eine Funktion von der Zeit, d.h. v(t), darstellt. Da die Beschleunigung wiederum als Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit definiert ist, kommt man auf die Geschwindigkeit, indem man den Zahlenwert der Beschleunigung mit der Gesamtzeit multipliziert, d.h. v(t) = a * t. |
| Wenn t1 = 0 ist, dann: |
 |
| Dies ist dann auch die bekannte Formel des Weges aus Beschleunigung und Zeit: |
 |
Siehe auch
Weblinks
- Differential- und Integralrechnung durch Leibniz, gwlb.de
- 50-Stammfunktionsbeispiele von Funktionen
- Integralrechnung
- Integrator
Literatur
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 3. A. (3. Januar 2008), ISBN 3764377550
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis II (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2., korr. Aufl. 2006. Nachdruck. (18. März 2006), ISBN 3764371056
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III (Grundstudium Mathematik) [Taschenbuch]; Birkhäuser; Auflage: 2. A. (18. September 2008), ISBN 3764388838
- Otto Forster: Analysis 1 [Broschiert]; Vieweg Friedr. + Sohn Ver; Auflage: 7., verb. A. (Juli 2004), ISBN 3528672242