Formelsammlung Mechanik

Dies ist eine Formelsammlung zu dem physikalischen Teilgebiet der klassischen Mechanik.

Bewegungen − Kinematik

$v$: Geschwindigkeit [m/s]

$s$: Strecke [m]

$t$: Zeit [s]

$a$: Beschleunigung [m/s²]

Geradlinige Bewegung

$v=\frac{s}{t}$

gleichförmige Bewegung (Durchschnittsgeschwindigkeit)

$\mathrm{\Delta }s$: Strecke [m]

$\mathrm{\Delta }t$: Zeit [s]

$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$

Momentangeschwindigkeit

$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

Beschleunigung

$a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}$

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• geradlinig:

$s(t)=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+s_0$

$v=at+v_0$

• allgemein:

$\overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{v}}_0+t\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{x}(t)={\overrightarrow{x}}_0+t{\overrightarrow{v}}_0+\frac{1}{2}{t}^2\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{v}(t{)}^2={\overrightarrow{v}}_0^2+2a(\overrightarrow{x}(t)-{\overrightarrow{x}}_0)$

mit

$\overrightarrow{x}(t)$: zeitabhängige Position

${\overrightarrow{x}}_0$: Anfangsposition

$\overrightarrow{v}$: zeitabhängige Geschwindigkeit

${\overrightarrow{v}}_0$: Anfangsgeschwindigkeit

beliebige Bewegung

$\overrightarrow{s}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{v}(t)\mathrm{d}t+{\overrightarrow{v}}_0\cdot t+{\overrightarrow{s}}_0$

$\overrightarrow{v}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{a}(t)\mathrm{d}t+{\overrightarrow{v}}_0$

Kreisbewegung

gleichförmige Kreisbewegung: v = konstant

$b$: Bogenlänge [m]

$r$: Kreisradius [m]

$\phi$: Winkelkoordinate rad (dimensionslos)

$\phi =\frac{b}{r}$

$\text{Winkelgeschwindigkeit }\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{2\pi }{T}$

$\text{Drehfrequenz }f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$

$\text{Kreisbahngeschwindigkeit }v=r\omega =\frac{2\pi r}{T}=2\pi rf$

$\text{Umlaufdauer }T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{\omega }$

$\text{Zentripetalbeschleunigung }{a}_{\mathrm{z}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

$\phi =\frac{1}{2}\alpha \cdot t^2=\frac{b}{r}=\frac{\omega \cdot t}{2}$

$\omega =\frac{v}{r}=\alpha \cdot t$

$\text{Winkelbeschleunigung }\alpha =\frac{a}{r}=\frac{\omega }{t}=\text{konstant}$

Rotation

beliebige Rotation

$\text{Winkel }\overrightarrow{\varphi }=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{\omega }(t)\mathrm{d}t+{\overrightarrow{\omega }}_0\cdot t+{\overrightarrow{\varphi }}_0$

$\text{Winkelgeschindigkeit }\overrightarrow{\omega }=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{\alpha }(t)\mathrm{d}t+{\overrightarrow{\omega }}_0=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\varphi }}{\mathrm{d}t}$

$\text{Winkelbeschleunigung }\overrightarrow{\alpha }=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\omega }}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{\varphi }}{\mathrm{d}{t}^2}$

gleichförmige Rotation

$\varphi =\omega \cdot t+{\varphi }_0$

$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v}{r}=\frac{2\pi }{T}=2\pi n$

$\alpha =0$

gleichmäßig beschleunigte Rotation

$\varphi =\frac{\alpha }{2}\cdot t^2+{\omega }_0\cdot t+{\varphi }_0$

$\omega =\alpha \cdot t+{\omega }_0$

$\alpha =\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}=\text{konstant}$

Würfe, Freier Fall

Freier Fall

$g$: Erdbeschleunigung [m/s²]

$h$: Fallhöhe [m]

ohne Reibung

$v=g\cdot t=\sqrt{2gh}$

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

$s=\frac{1}{2}g{t}^2$

mit Reibung

$H$: Anfangshöhe

Fall 1: Newton-Reibung

$\text{Momentanh}\ddot{\mathrm{o}}\text{he }h(t)=H-\frac{m}{\alpha }\ln [\cosh (\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t)]$

$v(t)=-\sqrt{\frac{mg}{\alpha }}\tanh (\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t)$

$a(t)=-\frac{g}{{\cosh }^2(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t)}$

$\text{Grenzgeschwindigkeit }{v}_{\mathrm{g}}=-\sqrt{\frac{mg}{\alpha }}$

Im Newton-Fall ist $\alpha =\frac{1}{2}\cdot c_{\mathrm{w}}\rho A$, mit

$c_{\mathrm{w}}$: Strömungswiderstandskoeffizient

$\rho$: Luftdichte

$A$: Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

$h(t)=H+\frac{m}{\alpha }g[\frac{m}{\alpha }(1-e^{-(\alpha /m)t})-t]$

$v(t)=\frac{m}{\alpha }g(e^{-(\alpha /m)t}-1)$

$a(t)=-g{e}^{-\frac{\alpha }{m}t}$

$v_g=-\frac{m}{\alpha }g$

Senkrechter Wurf

$v_0$: Abwurfgeschwindigkeit

nach unten

$v(t)=v_0+gt=\sqrt{v_0^2+2gh(t)}$

$h(t)=v_{0}t+\frac{g}{2}{t}^2$

nach oben

$v(t)=v_0-gt=\sqrt{v_0^2-2gh(t)}$

$h(t)=v_{0}t-\frac{g}{2}{t}^2$

$\text{Steigzeit bis zum Umkehrpunkt }[v=0]:t_{steig}=\frac{v_0}{g}$

$\text{Steigh}\ddot{\mathrm{o}}\text{he }{h}_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$

Horizontaler Wurf

$H$: Abwurfhöhe

$\text{Wurfweite }W=v_0\cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}$

$\text{Wurfdauer }T=\sqrt{\frac{2H}{g}}$

Schiefer Wurf

$\alpha (0^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$: Abwurfwinkel zur Horizontalen

$\text{Wurfweite }W=\frac{v_0^2\cdot \sin (2\alpha )}{g}$

$\text{Steigh}\ddot{\mathrm{o}}\text{he }H=\frac{v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha }{2g}$

$\text{Steigzeit = Fallzeit }T=\frac{v_0\cdot \sin \alpha }{g}$

Die Wurfweite ist maximal, wenn $\sin 2\alpha =1$, also bei einem Abschusswinkel von $\alpha =45^{\circ }$.

Kraft

$m$: Masse [kg]

$g$: Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) [m/s²]

$\overrightarrow{F}$: Kraft [N]

$\overrightarrow{a}$: Beschleunigung [m/s²]

Grundlegende Kräfte

$\text{Gewichtskraft }{F}_{\mathrm{G}}=m\cdot g$

$\text{Federspannkraft }{F}_S=D\cdot s$

$\text{Auftriebskraft }{F}_A=\rho \cdot V\cdot g=\text{Dichte}\cdot \text{Volumen}\cdot \text{Ortsfaktor}$

$\text{Druckkraft }{F}_p=p\cdot A=\text{Druck}\cdot \text{Auflagefl}\ddot{\mathrm{a}}\text{che}$

Zentrifugal-/-petalkraft

$F_Z=\frac{m{v}^2}{r}=mr{\omega }^2=m{a}_z$

siehe oben #Kreisbewegung

Newton’sche Gesetze

• Erstes newtonsches Gesetz: Trägheitsgesetz

„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“

$\sum {\overrightarrow{F}}_{\ddot{a}ussere}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{v}=\text{konstant}$

• Zweites newtonsches Gesetz: Aktionsprinzip

$\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$

• Drittes newtonsches Gesetz: actio=reactio

${\overrightarrow{F}}_{A\to B}=-{\overrightarrow{F}}_{B\to A}$

Gravitationskraft

$\text{Gravitationskraft }{F}_{\mathrm{G}}=G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}$

$m_1,m_2$: Masse des einen bzw. anderen Körpers [kg]

$r$: Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander [m]

$G$: Gravitationskonstante $\approx 6,6726\cdot 10^{-11}\frac{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2}$

Kraftumformende Einrichtungen

• Drehmoment

$\text{Drehmoment }\overrightarrow{M}=\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{F}$

$\overrightarrow{F}$: Kraft [N]

$\overrightarrow{l}$: Hebelarmlänge [m]

• Hebelgesetz

$F_1\cdot l_1=F_2\cdot l_2$

$F_1,F_2$: Kraft bzw. Last [N]

$l_1,l_2$: Kraft- bzw. Lastarmlänge [m]

• Rollen

• Flaschenzug

Reibung

$\text{Reibungskraft }{F}_R=\mu \cdot F_N=\text{Reibungszahl}\cdot \text{Normalkraft}$

Impuls

$\text{Impuls }\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$

$E_{\text{kinetisch}}=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\overrightarrow{F}(t)\mathrm{d}t$

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{F}$

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

Kraftstoß

$\text{Kraftstoss }\overrightarrow{I}=\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\Delta }t\text{bei }\overrightarrow{F}=\text{konstant}$

$\overrightarrow{I}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=\int \overrightarrow{F}(t)\cdot \mathrm{d}t$

Drehimpuls

$J$: Trägheitsmoment

$\omega$: Winkelgeschwindigkeit

$M$: Drehmoment

$\text{Drehimpuls }\overrightarrow{L}=J\cdot \overrightarrow{\omega }$

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{M}$

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

Stoß

$v_1,v_2$: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

$u,u_1,u_2$: Geschwindigkeiten nach dem Stoß

elastischer gerader zentraler (idealer) Stoß

Impulserhaltung:

$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{u}_1+m_2{u}_2$

Energieerhaltung:

$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2$

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

$u_1=\frac{m_1{v}_1+m_2(2v_2-v_1)}{m_1+m_2}$

$u_2=\frac{m_2{v}_2+m_1(2v_1-v_2}{m_1+m_2}$

Spezialfall: bei gleichen Massen

$u_1=v_2{u}_2=v_1$

unelastischer (gerader zentraler) Stoß

Impulserhaltung:

$m_1{v}_1+m_2{v}_2=(m_1+m_2)\cdot u$

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

$\frac{1}{2}(m_1{v}_1^2+m_2{v}_2^2)-\frac{1}{2}(m_1+m_2)u^2$

Geschwindigkeit $u$ nach dem Stoß:

$u=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$

teilelastischer Stoß

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust")

$\mathrm{\Delta }E=(E_{kin.vor}-E_{kin.nach})\cdot (1-k^2)=\frac{1}{2}\cdot (1-k^2)\cdot \frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}\cdot (v_1-v_2{)}^2$

$\text{Stosszahl }k=\frac{u_2-u_1}{v_1-v_2}$

$u_1=\frac{v_1\cdot (m_1-k{m}_2)+v_2\cdot (1+k)m_2}{m_1+m_2}$

$u_2=\frac{v_2\cdot (m_2-k{m}_1)+v_1\cdot (1+k)m_1}{m_1+m_2}$

Dichte und Druck

$\text{Dichte }\rho =\frac{m}{V}=\frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$

$\text{Druck }p=\frac{|{\overrightarrow{F}}_{\perp }|}{|\overrightarrow{A}|}=\frac{\text{senkrecht wirkende Kraft}}{\text{Fl}\ddot{\mathrm{a}}\text{che}},\text{Einheit: Pa (Pascal)}$

$\text{Schweredruck }p=\frac{F_G}{A}=\frac{mg}{A}=\rho hg$

$\text{Auftriebskraft }{F}_A=\rho \cdot V\cdot g$

• Barometrische Höhenformel

Mechanische Arbeit

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$

$W$: Arbeit [Nm = J = Ws]

$\overrightarrow{F}$: Kraft [N]

$\overrightarrow{s}$: Weg [m]

allgemein

$W=\underset{s_1}{\overset{s_2}{\int }}\overrightarrow{F}(s)\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\mathrm{\Delta }E$

falls F = konstant und $\measuredangle (\overrightarrow{F},\overrightarrow{s})=\alpha$:

$W=F\cdot s\cdot \cos \alpha$

$\text{Hubarbeit }W=mgs$

$\text{Beschleunigungsarbeit }=mas$

$\text{Federspannarbeit }=\frac{1}{2}D{s}^2$

$\text{Reibungsarbeit }{W}_R=\mu \cdot m\cdot g\cdot s\cdot \cos \alpha$

$\text{Volumenarbeit (Ausdehnungsarbeit) }W=-\underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}p(V)\mathrm{d}V$

$\text{Falls Druck }p=\text{konstant: }W=-p\cdot \mathrm{\Delta }V$

$V$: Volumen

Mechanische Energie

Potentielle Energie

$E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}=m\cdot g\cdot h$

$h$: Hubhöhe [m]

• Potentielle Energie einer gespannten Feder (Spannenergie)

$E_{\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot s^2$

$\text{Federkonstante }D=\frac{F}{s},\text{Einheit: }\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$

$s$: Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}=m\cdot g\cdot h\cdot \frac{R}{r}=\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}$

$M$: Masse des Himmelskörpers [kg]

$R$: Radius des Himmelskörpers [m]

$r$: Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) [m]

$G$: Gravitationskonstante

Maximale potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{GMm}{R}=mgR$, mit $GM=g{R}^2$

Kinetische Energie

Translation

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$

$m$: Masse [kg]

$v$: Geschwindigkeit [m/s]

Rotation

$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot J\cdot {\omega }^2$

$J$: Trägheitsmoment

$\omega$: Winkelgeschwindigkeit

Energieerhaltungssatz der Mechanik

In einen abgeschlossenen mechanischen System gilt:

$E_{mech}=E_{pot}+E_{kin}=\text{konstant}$

Leistung

$\text{Leistung }P=\frac{W}{t}$

$P$: Leistung [Nm/s = J/s = W (Watt)]

$W$: Arbeit [J]

$t$: Zeit [s]

Wirkungsgrad

$\eta =\frac{W_{abgegeben}}{W_{zugef\ddot{u}hrt}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{E_{abgegeben}}{E_{zugef\ddot{u}hrt}}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{P_{abgegeben}}{P_{zugef\ddot{u}hrt}}\cdot 100\mathrm{\%}<1.$

$\text{Gesamtwirkungsgrad }{\eta }_{ges}={\eta }_1\cdot {\eta }_2\cdots {\eta }_n$

Init-Quelle

Entnommen aus der:

• Wikipedia
• Löschdiskussion bei Wikipedia

Erster Autor: 79.239.206.77 angelegt am 02.08.2011 um 09:03,
Alle Autoren: Bone1234, Christian1985, Michileo, Sch, Merlinor, Johnny Controletti, Controletti Johnny Controletti, 79.239.206.77

Andere Lexika

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