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Differentialgleichung
Unter einer Differentialgleichung versteht man eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält. Als Beispiel sei die Gleichung y' - y = 0 genannt. Nach Umformung hätte man y' = y und würde als Lösung der DGL eine Funktion vermuten, deren Ableitung mit der Funktion übereinstimmt, z.B. y = e^x, d.h. diese Funktion wäre eine Lösung. Wobei hier auch ein Faktor vor der Exponentialfunktion stehen könnte, d.h. y = c*e^x.
Wenn die Funktion, welche die Differentialgleichung löst, nur von einer Variablen abhängt, so handelt es sich um eine Gewöhnliche Differentialgleichung - bei mehreren Variablen und Ableitung nach einer Variablen heißt es Partielle Differentialgleichung.
Weitere Begriffe beziehen sich auf die Anzahl der Ableitungen, z.B. handelte es sich bei dem obigen Beispiel um eine DGL 1. Ordnung, da keine höheren als die erste Ableitung vorhanden sind.
Als Schreibweise ist es üblich, die als Lösung gesuchte Funktion mit y zu bezeichnen und einen Term mit der Variablen x dann mit f(x). Beispiel: y' = f(x).
Gewöhnliche Differentialgleichung
Einfache Beispiele
- Die Gleichung y' = y ist eine DGL I. Ordnung, da die erste Ableitung die höchste ist. Da die abgeleitete und nicht abgeleitete Funktion gleich sind, kommt nur eine Funktion in Frage, die sich bei der Ableitung nicht ändert. Dies wäre aus der Erfahrung die Exponentialfunktion y = e^x. Da sich ein konstanter Faktor vor dem Term mit der Variablen auch nicht ändert, wäre hier die Lösung: y = c*e^x.
- Die Gleichung y' = f(x) ist eine DGL I. Ordnung. Man kann y' = dy/dx = f(x) und somit dann dy = f(x)*dx schreiben und zur Bestimmung der Lösungsfunktion y dann integrieren: y = Int f(x)*dx = F(x).
Literatur
- G. Oberholz: Differentialgleichungen für technische Berufe. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2.
- L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1.
Weblinks
- Richtungsfeld einer Differentialgleichung - public.beuth-hochschule.de