Schriftliches Wurzelziehen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 23. November 2019, 19:55 Uhr

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Das Schriftliche Wurzelziehen ist ein Rechenverfahren, um die unbekannte Wurzel einer Zahl zu ermitteln. Bewährt hat sich in der Praxis dieses Rechenverfahren nur für Quadratwurzeln, die den Wurzelexponent n=2 haben. Es hat sich dabei gezeigt, dass alle Wurzeln aus einer Zahl, die nicht das Ergebnis des Potenzierens mit ganzen Zahlen - einschließlich der Potenzen mit einem ganzzahligen Bruch als Basis - sind, zur Menge der irrationalen Zahlen gehören. Solche Zahlen sind nicht auf einfache Weise mit den vier Grundrechenarten („nicht rational“) zu ermitteln und lassen sich nicht mit einem ganzzahligen Bruch darstellen. Für das Wurzelziehen wurden daher auch andere Verfahren entwickelt, im 20. Jahrhundert auch entsprechende Computerprogramme.

Grundlagen

Zunächst geht es darum, einen Algorithmus zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann. Für die Quadratwurzel wird die Erste Binomische Formel verwendet: (a+b)² = (a² + 2ab + b²). Für die Kubikwurzel („dritte Wurzel“) würde entsprechend die Zweite Binomische Formel verwendet: (a+b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³).

Man versucht während des Rechenganges die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, in das Binom (a² + 2ab + b²) stufenweise zu zerlegen und so die gesuchte Wurzel zu bestimmen. Zum Beispiel wäre die Zahl 169 wie folgt zu zerlegen:
(10+3)² = 10² + 2 ^. 10 ^. 3 + 3²
Der Vorteil ist dabei, dass ähnlich wie beim schriftlichen Dividieren schrittweise vorgegangen werden kann. Das Rechenverfahren ist sowohl für ganze Zahlen als auch für Dezimalzahlen anwendbar. Etwas Probieren und Überblicken muss jedoch sein, d.h. wenn eine Zahl als Lösung nicht passt, nimmt man die nächsthöhere oder niedrigere Zahl, bewegt sich aber immer im Zahlenraum von 1 bis 9

Anwendung des schriftlichen Wurzelziehens

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Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 144

Am Bespiel der Quadratwurzel aus 144 wird das im Folgenden beschrieben:

Zunächst erfolgt die Aufteilung in Hundertergruppen von rechts nach links: 1|44
Bestimmung der ersten Ziffer von links, (siehe A)
Man zieht aus dieser ersten Gruppe von links die Wurzel
Wurzel aus 1 ist hier 1, dies entspricht eigentlich der Zahl 10, die Wurzel aus 100, es wird zur Vereinfachung nur die 1 geschrieben
Der nächste Schritt ist wie beim schriftlichen Dividieren: 1 ^. 1 = 1, und das Ergebnis wird abgezogen.

Nunmehr wird die erste Ziffer der zweiten Gruppe von links herunter gezogen. Man rechnet nur mit den Ziffern 2 ^.A ^. B = 4, wobei A=1, somit 2 ^. 1 und damit B=2.

Dann wird die zweite Ziffer der zweiten Zahlengruppe herunter gezogen und geprüft, ob sie mit B² übereinstimmt. Es ist A=1 und B=2 also a=10 und b=2, somit 1 ^. 10¹ + 2 ^. 10⁰ = 12
sqrt(144)=12.

Die Vermittlung zwischen Verständnis und Algorithmus ließen leider keinen schnellen Könisgweg der Erklärung zu.

Weitere Beispiele:

Quadratwurzel aus einer vierstelligen Zahl

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Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 4225

Quadratwurzel aus einer sechsstelligen Zahl

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Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 100489

Quadratwurzel aus 2

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Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 2

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-[[Datei:Wurzel 9.jpg|thumb|300px|Quadratwurzel aus 9]]
+{{Inuse}}
-Beim '''Schriftlichen Wurzelziehen (Radizieren)''' ist eine Zahl zu suchen, welche durch Multiplikation mit sich selbst die Zahl unter der Wurzel (den Radikanden) ergibt. Dabei ist bei den geläufigsten  '''Quadratwurzeln''' der ''Wurzelexponent'' n=2, die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt ''Radikand'' und das Ergebnis wird als ''Wurzelwert'' bezeichnet. Es gibt ferner auch '''Kubikwurzeln''' mit dem ''Wurzelexponenten'' n=3; usw. Der Umkehrvorgang des Radizierens ist das [[Potenzieren]].
+Das '''Schriftliche Wurzelziehen''' ist ein Rechenverfahren, um die unbekannte [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] einer Zahl zu ermitteln. Bewährt hat sich in der Praxis dieses Rechenverfahren nur für ''Quadratwurzeln'', die den ''Wurzelexponent'' n=2 haben. Es hat sich dabei gezeigt, dass alle Wurzeln aus einer Zahl, die nicht das Ergebnis des Potenzierens mit ganzen Zahlen - einschließlich der Potenzen mit einem ganzzahligen [[Bruchzahl|Bruch]] als Basis - sind, zur Menge der ''irrationalen'' Zahlen gehören. Solche Zahlen sind nicht auf einfache Weise mit den vier [[Grundrechenarten]] („nicht rational“) zu ermitteln und lassen sich nicht mit einem ganzzahligen Bruch darstellen. Für das Wurzelziehen wurden daher auch andere Verfahren entwickelt, im 20. Jahrhundert auch entsprechende Computerprogramme.
-== Anzahl der Ziffern ==
+== Grundlagen ==
-Wichtig ist ein gewisser Überblick über den Aufbau der Zahlen per [[Dezimalsystem]] und seiner Kombination von Ziffern und Zehnerpotenzen. Dabei gilt der Lehrsatz:
+Zunächst geht es darum, einen [[Algorithmus]] zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann. Für die ''Quadratwurzel'' wird die ''Erste Binomische Formel'' verwendet: (a+b)² = (a² + 2ab + b²). Für die ''Kubikwurzel'' („dritte Wurzel“) würde entsprechend die ''Zweite Binomische Formel'' verwendet: (a+b)³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³).
-* Eine 1ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 2ziffrige Zahl.
-* Eine 2ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 4ziffrige Zahl.
-* Eine 3ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 6ziffrige Zahl.
-Umgekehrt: Soviele Gruppen von 2 Ziffern unter der Wurzel stehen, soviel Ziffern hat die gesuchte Zahl.
+Man versucht während des Rechenganges die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, in das Binom (a² + 2ab + b²) stufenweise zu zerlegen und so die gesuchte Wurzel zu bestimmen. Zum Beispiel wäre die Zahl 169 wie folgt zu zerlegen:<br>
+(10+3)² =  10² +  2 <sup>.</sup> 10 <sup>.</sup> 3 + 3²<br>
+Der Vorteil ist dabei, dass ähnlich wie beim ''schriftlichen Dividieren'' schrittweise vorgegangen werden kann. Das Rechenverfahren ist sowohl für [[ganze Zahl]]en als auch für [[Dezimalzahl]]en anwendbar. Etwas Probieren und Überblicken muss jedoch sein, d.h. wenn eine Zahl als Lösung nicht passt, nimmt man die nächsthöhere oder niedrigere Zahl, bewegt sich aber immer im Zahlenraum von 1 bis 9
-== Wurzelziehen mit Hilfe der Binomischen Formel ==
+== Anwendung des schriftlichen Wurzelziehens ==
-Nunmehr geht es darum, einen Algorithmus zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann.
-Einen guten Überblick bekommt man über das Rechenverfahren, wenn man die '''Erste Binomische Formel''':<br>
-(a+b)² = (a² + 2ab + b²)<br>
-aus (a+b)² = (a+b) <sup>.</sup> (a+b) = a² + ab + ba + b² = (a² + 2ab + b²) anwendet.<br>
-Man hat als Beispiel sqrt((a+b)²) = a + b, z.B. sqrt((10+2)²) = 10 + 2.
-Man versucht jetzt während des Rechenganges über die ausgerechnete Summe des [[Binom]]s (a² + 2ab + b²) die beiden Stellen der gesuchten Wurzel a und b zu bestimmen, d.h. im Beispiel wäre die Zahl 144 als Summe (a² + 2ab + b²) zu schreiben. Da es sich bei 144 um zwei Gruppen 1|44 handelt, steckt auf jeden Fall die Quadratzahl 100 als a² in dieser Summe, so dass a = 10. Nunmehr kann geschrieben werden:<br>
-² + 2 <sup>.</sup> 10 <sup>.</sup> b + b²<br>
-Also ist 2 <sup>.</sup> Y10 <sup>.</sup> b + b² = 44<br>
-Etwas Probieren und Überblicken muss sein, d.h. b = 3 würde nicht gehen und man nimmt die nächste Zahl für b, die für 44 passend ist. Also wäre b = 2 die nächste Möglichkeit. Also (10² + 2 <sup>.</sup> 10 <sup>.</sup> 2 + 2²), d.h. sqrt(144) = 12
-== [[Algorithmus]] des schriftlichen Wurzelziehens ==
 [[Datei:Wurzel Rechnung 144.jpg|thumb|300px|Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 144]]
-Nunmehr der Algorithmus des schriftlichen Wurzelziehens im Einzelnen, wobei zwischen Ziffer, hier A, B, und Zehnerzahl des [[Dezimalsystem]]s, hier a, b, zu unterscheiden wäre, d.h. A <sup>.</sup> 10<sup>1</sup> + B <sup>.</sup> 10<sup>0</sup>, wobei als Zehnerzahlen dann a = A <sup>.</sup> 10<sup>1</sup> und b = B <sup>.</sup> 10<sup>0</sup> geschrieben werden könnte.
+Am Bespiel der Quadratwurzel aus 144 wird das im Folgenden beschrieben:
+*Zunächst erfolgt die Aufteilung in Hundertergruppen von rechts nach links: 1|44
-sqrt(144)=?<br>
+*Bestimmung der ersten Ziffer von links, (siehe A)
-Aufteilung in Zweiergruppen von rechts nach links: sqrt(1|44)=?<br>
+*Man zieht aus dieser ersten Gruppe von links die Wurzel
+*Wurzel aus 1 ist hier 1, dies entspricht eigentlich der Zahl 10, die Wurzel aus 100, es wird zur Vereinfachung nur die 1 geschrieben
-Bestimmung der ersten Ziffer von a, d.h. Bestimmung von A: <br>
+*Der nächste Schritt ist wie beim schriftlichen Dividieren: 1 <sup>.</sup> 1 = 1, und das Ergebnis wird abgezogen.
-Man zieht aus der ersten Gruppe von links die Wurzel<br>
-Wurzel aus 1 ist 1, d.h. A=1 und subtrahiert.
 Nunmehr wird die erste Ziffer der zweiten Gruppe von links herunter gezogen. Man rechnet nur mit den Ziffern 2 <sup>.</sup>A <sup>.</sup> B = 4, wobei A=1, somit 2 <sup>.</sup> 1 und damit B=2.

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Grundlagen

Anwendung des schriftlichen Wurzelziehens

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