Wellengleichung

Wellengleichung auch D’Alembert-Gleichung, ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die für die Variablen t und x zu einer homogenen Differentialgleichung wird:

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Aufgrund der vereinfachten Notation findet man auch die folgende Form der Wellengleichung:

u_tt/c^2 - u_xx=0

Beispiel einer Lösung der Wellengleichung

Es soll einmal überprüft werden, ob eine bekannte Formel zur Wellenausbreitung eine Lösung der Wellengleichung ist.
Zur Errechnung des Ortes an welchem sich ein Teilchen zur Zeit t befindet, wird oftmals die Formel:

s(x,t) = s_max * sin[2 * π * (t/T - x/λ)] mit λ=c*T

benutzt, die auch wie folgt geschrieben werden kann:

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/λ)] =

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

da λ=c*T, wobei:
x der Abstand zum ersten Oszillatoren (Wellenerreger) darstellt
T die Periodendauer ist
t die Zeitdauer ist, in der die Welle sich fortbewegt hat.

Somit zweifache Ableitung erstmal nach t und dann nach x, sodann Einsetzung in die Wellengleichung:

d²u/c²*dt² - d²u/dx² = 0

u(x,t)=û*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

du/dt=û*2*π/T *cos[2*π*(t/T-x/c*T)]
d²u/dt²= - û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

du/dx=-û*2*π/cT * cos[2*π*(t/T-x/c*T)]
d²u/dx²=-û*2*π/cT*2*π/cT*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]

Somit einsetzen in die Wellengleichung d²u/c²*dt² - d²u/dx² = 0 und prüfen, ob es eine Lösung ist und die Gleichung eine wahre Aussage ist:

d²u/c²*dt²=- û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²
d²u/dx²=-û*2*π/cT*2*π/cT*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]=
=-û*2*π/T*2*π/T*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²

d²u/c²*dt² - d²u/dx² =- û*2*π/T * 2*π/T *sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c² - {-û*2*π/T*2*π/T*sin[2*π*(t/T-x/c*T)]*1/c²} = 0

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Vergleich zu Wikipedia

Wellengleichung bei Wikipedia (Wikipedia-Version)

Wellengleichung

Beispiel einer Lösung der Wellengleichung

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