E=mc²

Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie".

Herleitung von E=mc²

Problemstellung

Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit
W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.

Unveränderliche Masse

Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft
F=m*a
wie folgt:
W=m*a*s | und mit s=a/2t²
W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t
W=m*v²/2*t²=1/2*m*v²

Rechnet man mit Differentialen, dann gilt:
a=dv/dt
v=ds/dt
dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv

Nunmehr Integration:
W=m*∫v*dv=m*1/2*v²=1/2*m*v²

Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²

Relativistische Masse (1. Möglichkeit einer Herleitung)

Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:
F=dp/dt und p=m*v
F=d(mv)/dt
Die Kinetische Energie ergibt sich aus:

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Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens „Partielle Integration“. Hierzu die Formel:

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Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:

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Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms m_0*c² dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: W=mc² In anderer Schreibweise für Energie dann also:
E = m * c²

Relativistische Masse (2. Möglichkeit einer Herleitung)

Jetzt hatte ich nocheinmal gnadenlos alles durchgerechnet und komme so auf eine etwas andere Herleitung, die besonders auf der Integration durch Substitution beruht:

Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:
F=dp/dt und p=m*v
F=d(mv)/dt

F=d(mv)/dt=d(m_0/sqrt(1-v²/c²)*v)*dv/dv*/dt=

F=m_0[d(1/sqrt(1-v²/c²) * v)/dv*dv/dt]
__________________________________________________

Einschub Produktregel: (f*g)'=f'*g+f*g'

(f'g)'=d(1/sqrt(1-v²/c²))/dt * v + 1/sqrt(1-v²/c²) * 1=d(1/sqrt(1-v²/c²))/dt*v + 1/sqrt(1-v²/c²)

v/[c²*(1-v²/c²)^3/2]*v + 1/sqrt(1-v²/c²)=

v²/{c²*(1-v²/c²)^3/2}+1/(1-v²/c²)^1/2=

[v²+c²(1-v²/c²)]/ [c²*(1-v²/c²)^3/2]=

[v²+(c²-v²)/[c²*(1-v²/c²)^3/2]=

c²/c²*(1-v²/c²)^3/2=

1/(1-v²/c²)^3/2
__________________________________________________

Somit: F=m_0/(1-v²/c²)^3/2 *dv/dt

W=Int(F*ds)_ve_0

s=v*t somit:

ds=v*dt

W=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * dv/dt * v*dt

W=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * v * dv )_ve_0
__________________________________________________

Einschub Substitution: u=1-v²/c²

u'=-2v/c²

du/dv=-2v/c²

dv/du=-c²/2v

dv=-c²/2v * du

__________________________________________________

Substitution einsetzen:

W=m_0*Int(u^-3/2 * v * (-c²/2v) * du )

Konstanten nach vorne

W=-m_0*c²*1/2*Int( u^-3/2 * du )

W=-m_0*c²*1/2*[-2*u^-1/2]

W=m_0*c²[u^-1/2]

Wiedereinsetzung u=1-v²/c²

W=m_0*c²[(1-v²/c²)^-1/2]_ve_0

W=m_0*c²[(1-ve²/c²)^-1/2 – 1]

W=m_0*c²*(1-ve²/c²)^-1/2 – m_0*c²

W=m_0*(1-ve²/c²)^-1/2 *c²- m_0*c²

W=m*c² – m_0*c²

W bezeichnet das Gleiche wie E

Also könnte man:

E_0=m_0*c² als Ruheenergie bezeichnen.

Egesamt=E+E_0 als Gesamtenergie

E=m*c² als die Beschleunigungs-Energie

Also:

E=m*c²

Quellen

• http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=9617
• http://www.lima-city.de/thread/partielle-integration-problem

Siehe auch

• Relativitätstheorie
• Albert Einstein