Schriftliches Wurzelziehen

Wurzel aus 9

Beim Schriftlichen Wurzelziehen ist eine Zahl zu suchen, welche durch Multiplikation mit sich selbst die Zahl unter der Wurzel ergibt. Dabei ist bei Quadratwurzeln der Wurzelexponent n=2, die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand und das Ergebnis wird als Wurzelwert bezeichnet.

Anzahl der Ziffern

Wichtig ist ein gewisser Überblick über den Aufbau der Zahlen per Dezimalsystem und seiner Kombination von Ziffern und Zehnerpotenzen. Dabei gilt der Lehrsatz:

• Eine 1ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 2ziffrige Zahl.
• Eine 2ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 4ziffrige Zahl.
• Eine 3ziffrige Zahl zum Quadrat gibt höchstens eine 6ziffrige Zahl.

Umgekehrt: Soviele Gruppen von 2 Ziffern unter der Wurzel stehen, soviel Ziffern hat die gesuchte Zahl.

Wurzelziehen mit Hilfe der Binomischen Formel

Nunmehr geht es darum, einen Algorithmus zu finden, mit dem man die Wurzel einer Zahl bestimmen kann.

Einen guten Überblick bekommt man über das Rechenverfahren, wenn man die Erste Binomische Formel:
(a+b)²=(a²+2ab+b²)
aus (a+b)²=(a+b)*(a+b)=a²+ab+ba+b²=(a²+2ab+b²) anwendet.

Man hat als Beispiel sqrt((a+b)²)=a+b, z.B. sqrt((10+2)²)=10+2.

Man versucht jetzt während des Rechenganges über die ausgerechnete Summe des Binoms (a²+2ab+b²) die beiden Stellen der gesuchten Wurzel a und b zu bestimmen, d.h. im Beispiel wäre die Zahl 144 als Summe (a²+2ab+b²) zu schreiben. Da es sich bei 144 um zwei Gruppen 1|44 handelt, steckt auf jeden Fall die Quadratzahl 100 als a² in dieser Summe, so dass a=10. Die Kenntnis des Einmaleins sollte vorausgesetzt werden. Nunmehr kann geschrieben werden:
10²+2*10*b+b²
Also ist 2*10*b+b²=44

Etwas Probieren und Überblicken muss sein, d.h. b=3 würde nicht gehen und man nimmt die nächste Zahl für b, die für 44 passend ist. Also wäre b=2 die nächste Möglichkeit. Also (10²+2*10*2+2²), d.h. sqrt(144)=12

Algorithmus des schriftlichen Wurzelziehens

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Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 144

Nunmehr der Algorithmus des schriftlichen Wurzelziehens (Radizierens) im Einzelnen, wobei zwischen Ziffer, hier A, B, und Zehnerzahl des Dezimalsystems, hier a, b, zu unterscheiden wäre, d.h. A*10^1+B*10^0, wobei als Zehnerzahlen dann a=A*10^1 und b=B*10^0 geschrieben werden könnte.

sqrt(144)=?
Aufteilung in Zweiergruppen von rechts nach links: sqrt(1|44)=?

Bestimmung der ersten Ziffer von a, d.h. Bestimmung von A:
Man zieht aus der ersten Gruppe von links die Wurzel
Wurzel aus 1 ist 1, d.h. A=1 und subtrahiert.

Nunmehr wird die erste Ziffer der zweiten Gruppe von links herunter gezogen. Man rechnet nur mit den Ziffern 2*A*B=4, wobei A=1, somit 2*1*B=4 und damit B=2.

Dann wird die zweite Ziffer der zweiten Zahlengruppe herunter gezogen und geprüft, ob sie mit B² übereinstimmt. Es ist A=1 und B=2 also a=10 und b=2, somit 1*10^1+2*10^0=12
sqrt(144)=12.

Die Vermittlung zwischen Verständnis und Algorithmus ließen leider keinen schnellen Könisgweg der Erklärung zu.

Weitere Beispiele:

Quadratwurzel aus einer vierstelligen Zahl

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 4225

Quadratwurzel aus einer sechsstelligen Zahl

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 100489

Quadratwurzel aus 2

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel aus 2