Straffunktional

Ein Straffunktional ist ein Funktional (Abbildung einer Funktion), welches einer Funktion eine (reele) Zahl zuordnet, welche als Maß der Ungenauigkeit der Approximation dienen soll.

Definition

Das Straffunktional $I$ sei definiert als eine Abbildung $I:f\to k$, wobei $f\in \mathbb{𝔽}$ (die Menge beliebiger Funktionen) und $k\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{+}}$.

Nutzung

Das Straffunktional wird benutzt um die Güte einer Approximation zu quantifizieren. Somit lassen sich leicht mehrere Approximationsansätze miteinander vergleichen, wobei hier jedoch kein qualitativen Aussagen getroffen werden können.

Ein Straffunktional ist oft eng verbunden mit der auf dem betrachteten Raum verbundenen Norm. Geläufige Straffunktionale sind zB. die Summe der Abstände einer Messreihe zur Approximierten Funktion. Dabei ist der Abstand natürlich immer mit der betrachteten Norm verbunden und es können durchaus verschiedene Optimale Approximierte gefunden werden, abhängig von der betrachteten Norm.

Der Einfachheit halber beziehen sich folgende betrachtung auf ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{𝟚}}$.

Gegeben sei eine Menge von Messdaten $\mathbb{𝕄}=(x_i,y_i)$ und eine dazu approximierte Funktion (zB. erzeugt durch lineare Regression) $f(x)$. Nun definiert man das Straffunktional als:

$I_{\mathbb{𝕄}}(f)=\sum _{i=0}^{n}d((y_i),f(x_i))$

, wobei zB: $d(a,b)=a-b$ (Manhatten-Norm) oder

$d(a,b)=\sqrt{(a-b{)}^2}$ (euklidische-Norm).

Ebenfalls kann man $I$, nicht wie oben als Summe, sondern über das Maximum (Minimum) definieren. Somit ist:

$I_{\mathbb{𝕄}}(f)=\underset{i}{\max }d(y_i,f(x_i))$ (Minimum analog)

Andere Straffunktionale sind denkbar. Bei den vorigen Betrachtungen wurde zB nur die y-Komponente zur Abstandsberechnung einbezogen, der geringste Abstand eines Punktes zu einer Funktion ist aber von x und y Abhängig.

Hier sieht man schon, dass die wahl eines geeigneten Straffunktionales keine triviale Aufgabe ist und stark vom Verwendungszweck abhängt. Es können für verschiedene Zwecke verschiedene Funktionale gewählt werden, wobei es hier kein Richtig oder Falsch gibt.

Init-Quelle

Entnommen aus der:

• Wikipedia

Erster Autor: 83.221.88.68 angelegt am 30.12.2009 um 19:57