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E=mc²: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei der berühmten Formel '''E = m * c²''' von [[Albert Einstein]] geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie". | Bei der berühmten Formel '''E = m * c²''' von [[Albert Einstein]] geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie". | ||
== Herleitung von E=mc² == | == Herleitung von E=mc² == | ||
=== Problemstellung === | === Problemstellung === | ||
Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse | Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse '''m''' auf die Geschwindigkeit '''v''' zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit - '''W = F * s''' - zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft '''F''' aus '''F = m * a''' ergibt. | ||
=== Unveränderliche Masse === | === Unveränderliche Masse === | ||
Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft – F=m*a – wie folgt: | Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft – '''F=m*a''' – wie folgt: | ||
W=m*a*s | und mit s=a/2t² | '''W=m*a*s''' | und mit '''s=a/2t²''' | ||
W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t | '''W=m*a*a/2*t²''' | und mit '''a=v/t''' | ||
W=m*v²/2*t²=1/2*m*v² | '''W'''=m*v²/2*t²='''1/2*m*v²''' | ||
Rechnet man mit Differentialen, dann gilt: | Rechnet man mit Differentialen, dann gilt: | ||
a=dv/dt | '''a=dv/dt''' | ||
v=ds/dt | '''v=ds/dt''' | ||
dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv | '''dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv''' | ||
Nunmehr Integration: | Nunmehr Integration: | ||
W=m* | '''W'''=m*∫v*dv=m*1/2*v²='''1/2*m*v²''' | ||
Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie | Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: '''W=1/2mv²''' | ||
=== Relativistische Masse === | === Relativistische Masse === | ||
Version vom 31. Juli 2010, 23:00 Uhr
Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie".
Herleitung von E=mc²
Problemstellung
Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit - W = F * s - zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.
Unveränderliche Masse
Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft – F=m*a – wie folgt: W=m*a*s | und mit s=a/2t² W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t W=m*v²/2*t²=1/2*m*v²
Rechnet man mit Differentialen, dann gilt: a=dv/dt v=ds/dt dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv
Nunmehr Integration: W=m*∫v*dv=m*1/2*v²=1/2*m*v²
Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²
Relativistische Masse
Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:
F=dp/dt und p=m*v
F=d(mv)/dt
Die Kinetische Energie ergibt sich aus:
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| Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens „Partielle Integration“. Hierzu die Formel: |
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Es wäre nun:
g'(v) = d(mv)/dv und g(v) = mv
f'(v) = 1 und f(v) = v
Also:
W = mv² - ∫ mv * dv
Die Masse m wird nunmehr als "Relativistische" Masse:
m = m_0/√(1-v²/c²) geschrieben.
Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:
W = mv² - ∫ mv * dv = mv² - m_0*∫ v/√(1-v²/c²) * dv= mv² - m_0*c*∫ v/√(c²-v²)*dv = mv² - m_0*c*[-√(c²-v²)]_v_0=
mv²+m_0*c*{[√(c²-v²)]-c}= mv²+m_0*c²*√(1-v²/c²)- m_0*c²=mv²+m*√(1-v²/c²)*c²*√(1-v²/c²)-m_0c²=m(v²+c²*(1-v²/c²)- m_0*c²=
m*(v² + c² - v²) - m_0*c²= mc² - m_0*c²
Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms m_0*c² dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: W=mc²
In anderer Schreibweise für Energie dann also:
E = m * c²