E=mc²: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2020, 14:52 Uhr

Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie".

Herleitung von E=mc²

Problemstellung

Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit
W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.

Unveränderliche Masse

Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft

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Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²

Relativistische Masse

Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Der Formelbuchstabe W steht für Arbeit oder Energie und wird manchmal durch E ersetzt.

Somit:

Ekin = m*c² - m_0*c²

Ekin = E - E_0

Also könnte man sagen:

E_0 = m_0*c² ist die Ruheenergie

Ekin = mc² - m_0c² ist die Beschleunigungs-Energie

E = m*c² ist die Gesamt-Energie

Also:

E=m*c²

Quellen

Siehe auch

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{inuse}}
 Bei der berühmten Formel '''E = m * c²''' von [[Albert Einstein]] geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie".
 == Herleitung von E=mc² ==
 === Problemstellung ===
-Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse „m“ auf die Geschwindigkeit „v_end“ zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit - W = F * s - zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft „F“ aus F = m * a ergibt.
+Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse '''m''' auf die Geschwindigkeit '''v''' zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit<br>
+'''W = F * s'''<br>
+zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft '''F''' aus '''F = m * a''' ergibt.
 === Unveränderliche Masse ===
-Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft – F=m*a – wie folgt:
+Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft<br>
-W=m*a*s | und mit s=a/2t²
+{|
-W=m*a*a/2*t² | und mit a=v/t
+|[[Datei:Formel Kinetische Energie.jpg|links|500px]]
-W=m*v²/2*t²=1/2*m*v²
+|-
+|Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: '''W=1/2mv²'''
-Rechnet man mit Differentialen, dann gilt:
+|-
-a=dv/dt
+|}
-v=ds/dt
-dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv
-Nunmehr Integration:
-W=m*Int(v*dv)=m*1/2*v²
-Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie.
 === Relativistische Masse ===
 Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft '''F''' bezeichnet. Somit:<br>
-'''F=dp/dt''' und '''p=m*v'''<br>
-'''F=d(mv)/dt'''<br>
-Die Kinetische Energie ergibt sich aus:<br>
 {|
-|[[Datei:Kinetische Energie Umformung.JPG|left]]
+|[[Datei:Kraft und Impuls.jpg|500px|left]]
+|-
+|[[Datei:Produktregel.jpg|850px|left]]
 |-
-|Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens „Partielle Integration“. Hierzu die Formel:
+|[[Datei:Energie.jpg|500px|left]]
 |-
-|[[Datei:Partielle Integration.PNG|left]]
+|[[Datei:Äquivalenz Masse Energie.JPG|500px|left]]
 |}
-Es wäre nun:<br>
+<br>
-g'(v) = d(mv)/dv und g(v) = mv<br>
-f'(v) = 1 und f(v) = v
+Der Formelbuchstabe '''W''' steht für Arbeit oder Energie und wird manchmal durch '''E''' ersetzt. <br>
-Also:
+Somit:
+Ekin = m*c² - m_0*c²
+Ekin = E - E_0
-'''W = mv² - &int; mv * dv '''
+Also könnte man sagen:
-Die Masse '''m''' wird nunmehr als "Relativistische" Masse:
+E_0 = m_0*c² ist die Ruheenergie
-'''m = m_0/&radic;(1-v²/c²)''' geschrieben.
+Ekin = mc² - m_0c² ist die Beschleunigungs-Energie
-Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:<br>
+E = m*c² ist die Gesamt-Energie
-'''W = mv² - &int; mv * dv = mv² - m_0*&int; v/&radic;(1-v²/c²) * dv= mv² - m_0*c*&int; v/&radic;(c²-v²)*dv = mv² - m_0*c*[-&radic;(c²-v²)]_v_0='''<br>
-'''mv²+m_0*c*{[&radic;(c²-v²)]-c}= mv²+m_0*c²*&radic;(1-v²/c²)- m_0*c²=mv²+m*&radic;(1-v²/c²)*c²*&radic;(1-v²/c²)-m_0c²=m(v²+c²*(1-v²/c²)- m_0*c²'''=<br>
+Also:
-'''m*(v² + c² - v²) - m_0*c²= mc² - m_0*c²'''
+'''E=m*c²'''
-Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms '''m_0*c²''' dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: '''W=mc²'''
+== Quellen ==
-In anderer Schreibweise für Energie dann also:<br>
+* http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=9617
-'''E = m * c²'''
+* http://www.lima-city.de/thread/partielle-integration-problem
 == Siehe auch ==
-[[Relativitätstheorie]]
+* [[Relativitätstheorie]]
-[[Albert Einstein]]
+* [[Albert Einstein]]
-[[Kategorie:Physik]] [[Kategorie:Relativitätstheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Albert Einstein]]
+[[Kategorie:Relativitätstheorie]] [[Kategorie:Albert Einstein]] [[Kategorie:PPA-Kupfer]]

E=mc²: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

Herleitung von E=mc²

Problemstellung

Unveränderliche Masse

Relativistische Masse

Quellen

Siehe auch

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