E=mc²: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Januar 2020, 14:52 Uhr

Bei der berühmten Formel E = m * c² von Albert Einstein geht es um das Thema "Äquivalenz von Masse und Energie".

Herleitung von E=mc²

Problemstellung

Soll die Energie berechnet werden, welche benötigt wird, um eine Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen, dann hätte man es mit der Grundformel für die Berechnung Mechanischer Arbeit
W = F * s
zu tun. Wobei sich die für die Beschleunigung erforderliche Trägheitskraft F aus F = m * a ergibt.

Unveränderliche Masse

Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft

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Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: W=1/2mv²

Relativistische Masse

Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft F bezeichnet. Somit:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Der Formelbuchstabe W steht für Arbeit oder Energie und wird manchmal durch E ersetzt.

Somit:

Ekin = m*c² - m_0*c²

Ekin = E - E_0

Also könnte man sagen:

E_0 = m_0*c² ist die Ruheenergie

Ekin = mc² - m_0c² ist die Beschleunigungs-Energie

E = m*c² ist die Gesamt-Energie

Also:

E=m*c²

Quellen

Siehe auch

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 === Unveränderliche Masse ===
 Aus den vorherigen Formeln ergibt sich die Arbeit bei konstanter Kraft<br>
-'''F=m*a'''<br>
-wie folgt:<br>
-'''W=m*a*s''' | und mit '''s=a/2t²'''<br>
-'''W=m*a*a/2*t²''' | und mit '''a=v/t'''<br>
-'''W'''=m*v²/2*t²='''1/2*m*v²'''<br>
-Rechnet man mit Differentialen, dann gilt: <br>
-'''a=dv/dt'''<br>
-'''v=ds/dt'''<br>
-'''dW=m*dv/dt*v*dt=m*v*dv'''<br>
-Nunmehr Integration:<br>
-'''W'''=m*&int;v*dv=m*1/2*v²='''1/2*m*v²'''<br>
-Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: '''W=1/2mv²'''
-=== Relativistische Masse (1. Möglichkeit einer Herleitung) ===
-Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft '''F''' bezeichnet. Somit:<br>
-'''F=dp/dt''' und '''p=m*v'''<br>
-'''F=d(mv)/dt'''<br>
-Die Kinetische Energie ergibt sich aus:<br>
 {|
-|[[Datei:Kinetische Energie Umformung.JPG|500px|left]]
+|[[Datei:Formel Kinetische Energie.jpg|links|500px]]
 |-
-|Nunmehr Durchführung der Integration per Anwendung des Verfahrens „Partielle Integration“. Hierzu die Formel:
+|Da die Kraft konstant blieb, ergibt sich für die formelmäßige Berechnung und für die Rechnung mit Differentialen und Integration das gleiche – bekannte – Ergebnis der Kinetischen Energie: '''W=1/2mv²'''
 |-
-|[[Datei:Partielle Integration.PNG|200px|left]]
-|-
-|[[Datei:Formel Relativistische Masse.JPG|300px|left]]
-|-
-|
-Jetzt die Formel zur Kinetischen Energie im Zusammenhang:
-|-
-|[[Datei:Herleitung Kinetische Energie 1.JPG|300px|left]]
-|-
-|[[Datei:Herleitung Kinetische Energie 2.JPG|400px|left]]
 |}
-Da es um die Energie geht, die bei der Beschleunigung einer Masse hinein gesteckt werden muss, wäre die Energie des Terms '''m_0*c²''' dann die Ruheenergie, welche bezüglich der Beschleunigungsarbeit als nicht vorhanden angesehen werden kann. Somit würde also gelten: '''W=mc²'''
+=== Relativistische Masse ===
-In anderer Schreibweise für Energie dann also:<br>
-'''E = m * c²'''
-=== Relativistische Masse (2. Möglichkeit einer Herleitung) ===
-Jetzt hatte ich nocheinmal gnadenlos alles durchgerechnet und komme so auf eine etwas andere Herleitung, die besonders auf der Integration durch Substitution beruht:
 Da Masse die Eigenschaft hat, träge zu sein, bedarf es, um eine Geschwindigkeitsänderung zu bewirken, der Übertragung eines Impulses. Die Impulsänderung pro Zeit wird als Kraft '''F''' bezeichnet. Somit:<br>
-'''F=dp/dt''' und '''p=m*v'''<br>
-'''F=d(mv)/dt'''<br>
-F=d(mv)/dt=d(m_0/sqrt(1-v²/c²)*v)*dv/dv*/dt=
-F=m_0[d(1/sqrt(1-v²/c²) * v)/dv*dv/dt]
-<br>
-__________________________________________________
-Einschub Produktregel: (f*g)'=f'*g+f*g'
-(f'g)'=d(1/sqrt(1-v²/c²))/dt * v + 1/sqrt(1-v²/c²) * 1=d(1/sqrt(1-v²/c²))/dt*v + 1/sqrt(1-v²/c²)
-v/[c²*(1-v²/c²)^3/2]*v + 1/sqrt(1-v²/c²)=
-v²/{c²*(1-v²/c²)^3/2}+1/(1-v²/c²)^1/2=
-[v²+c²(1-v²/c²)]/ [c²*(1-v²/c²)^3/2]=
-[v²+(c²-v²)/[c²*(1-v²/c²)^3/2]=
-c²/c²*(1-v²/c²)^3/2=
-/(1-v²/c²)^3/2
-<br>
-__________________________________________________
-Somit:
-F=m_0/(1-v²/c²)^3/2 *dv/dt
-W=Int(F*ds)_ve_0
-s=v*t somit:
-ds=v*dt
-W=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * dv/dt * v*dt
-W=m_0*Int(1/sqrt(1-v²/c²)³ * v * dv )_ve_0
-<br>
-__________________________________________________
 {|
-|Einschub Substitution: u=1-v²/c²
+|[[Datei:Kraft und Impuls.jpg|500px|left]]
 |-
-|u'=-2v/c²
+|[[Datei:Produktregel.jpg|850px|left]]
 |-
-|du/dv=-2v/c²
+|[[Datei:Energie.jpg|500px|left]]
 |-
-|dv/du=-c²/2v
+|[[Datei:Äquivalenz Masse Energie.JPG|500px|left]]
-|-
-|dv=-c²/2v * du
 |}
 <br>
-__________________________________________________
-Substitution einsetzen:
+Der Formelbuchstabe '''W''' steht für Arbeit oder Energie und wird manchmal durch '''E''' ersetzt. <br>
-W=m_0*Int(u^-3/2 * v * (-c²/2v) * du )
+Somit:
-Konstanten nach vorne
-W=-m_0*c²*1/2*Int( u^-3/2 * du )
-W=-m_0*c²*1/2*[-2*u^-1/2]
-W=m_0*c²[u^-1/2]
-Wiedereinsetzung u=1-v²/c²
-W=m_0*c²[(1-v²/c²)^-1/2]_ve_0
-W=m_0*c²[(1-ve²/c²)^-1/2 – 1]
-W=m_0*c²*(1-ve²/c²)^-1/2 – m_0*c²
-W=m_0*(1-ve²/c²)^-1/2 *c²- m_0*c²
-W=m*c² – m_0*c²
+Ekin = m*c² - m_0*c²
-W bezeichnet das Gleiche wie E
+Ekin = E - E_0
-Also könnte man:
+Also könnte man sagen:
-E_0=m_0*c² als Ruheenergie bezeichnen.
+E_0 = m_0*c² ist die Ruheenergie
-Egesamt=E+E_0 als Gesamtenergie
+Ekin = mc² - m_0c² ist die Beschleunigungs-Energie
-E=m*c² als die Beschleunigungs-Energie
+E = m*c² ist die Gesamt-Energie
 Also:
@@ Zeile 158: / Zeile 57: @@
 * [[Albert Einstein]]
-[[Kategorie:Physik]] [[Kategorie:Relativitätstheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Albert Einstein]]
+[[Kategorie:Relativitätstheorie]] [[Kategorie:Albert Einstein]] [[Kategorie:PPA-Kupfer]]

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Inhaltsverzeichnis

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Relativistische Masse

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