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2011-09-11T22:56:17Z

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Eine [[Injektive Funktion]] zwischen Mengen
<math>
A\rightarrow B
</math>, ordnet verschieden Argumenten verschiedene Bilder zu. Ist die Funktion zugleich ein [[Homomorphismus zwischen Moduln]], so hat sie weitere Eigenschaften.
== Monomorphismus ==
=== Satz ===

Für einen Homomorphismus <math> f:M_{R}\rightarrow N_{R}</math>
zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.
# <math>
Kern(f) = \{m|m\in M,\, f(m)\} =\{0\}
</math>
# Für alle<math> a,b\in M </math> mit <math> f(a)=f(b) </math> ist <math> a=b</math>.
# <math>
f
</math> ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln<math> L_{R}</math>und alle Homomorphismen<math> g,h:L_{R} \rightarrow M_{R}</math> gilt:<math> fg=fh\Rightarrow g=h</math>.
==== Beweis ====
Aus der Aussage 1 folgt die Aussage 2.:
Seien <math> a,b\in M_{R} \, f(a)=f(b) </math>. Dann ist <math> f(a-b)=0 \Rightarrow a=b \Rightarrow a=b </math>.

Aus 2. folgt 3.:
Seien <math> h,g:L_{R}\rightarrow M_{R}\, mit fg=fh</math> zwei
Homomorphismen. Dann gilt
<math>
x\in L_{R}\Rightarrow fg(x)=fh(x)\Rightarrow g(x)=h(x)
</math>.
Daher ist
<math>
f=g.
</math>

3. folgt 1.: Sei <math> x\in Kern(f)</math>. Wir haben die beiden Homomorphismen:

<math>
\begin{align}
g:xR\ni xr&\mapsto 0\in M_{R}\\
h:xR\ni xr&\mapsto xr\in M_{R}
\end{align}
</math>

Es ist <math> fg=fh</math> und daher <math>g=h</math>. Insbesondere ist <math>0=g(x)=h(x)</math>. Daher ist <math>Kern(f)=\{0\}</math>.

=== Definition===
Erfüllt ein Homomorphismus <math>f:M_{R}\rightarrow N_{R}</math> eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt <math>f \, </math> '''Monomorphismus''' zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass <math> f </math> im Sinne der [[Kategorientheorie]] ein [[Monomorphismus]] ist.
=== Beispiele ===
# Ist <math> U_R \hookrightarrow M_R </math> ein [[Untermodul]], so ist die Inklusionsabbildung <math> \iota:U\ni u \mapsto u\in M</math> ein Monomorphismus.
# Jeder <math> \mathbb{Z}</math> Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphisus.

===Bemerkungen===
# Sind <math> f:M\rightarrow N_R \quad g:N_R \rightarrow O_R </math> Monomorphismen, so ist <math> g\circ f </math> ein Monomorohismus.
# Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f </math> ein Monomorphismus.
# Ist <math> g\circ f </math> ein Monomorphismus, so ist <math> f(M) \cap Kern(g) =\{0\} </math>.

== Literatur ==
* Frank W. Anderson and Kent R. Fuller ''Rings and Categories of Modules'' Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
* Friedrich Kasch ''Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
* Robert Wisbauer ''Grundlagen der Modul- und Ringtheorie.'' Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

== Init-Quelle ==
Entnommen aus der:
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Monomorphismen_von_Moduln Wikipedia]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:L%C3%B6schkandidaten/10._M%C3%A4rz_2011#Monomorphismen_von_Moduln_.28gel.C3.B6scht.29 Löschdiskussion bei Wikipedia]

Erster Autor: [http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Hesmucet Hesmucet] angelegt am 10.03.2011 um 11:11,
<br/> Alle Autoren: [http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Hesmucet Hesmucet], [http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Schnellbehalter Schnellbehalter]

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Monomorphismen von Moduln - Versionsgeschichte

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